Арифметика – это наука о числах. Арифметика – это раздел математики. Название «арифметика» происходит от греческого слова «аритмо́с» («арифмо́с») – «число». В арифметике изучаются самые простые свойства чисел и правила вычислений.

Цифра – это письменный знак, который изображает число. В древнейшие времена числа изображали «палочками»: одна палочка – это единица (один), две палочки – два и так далее. Потом появились особые знаки для чисел 5, 10, затем – для других чисел.

Числа, которые записаны с помощью одной цифры, – это однозначные числа. Числа 1, 2, 3,…, 9 – это однозначные числа.

Числа, которые записаны с помощью двух, трёх, четырёх и так далее цифр, – это многозначные числа. Числа 10, 11, 157, 324, 1008, … – это многозначные числа.

Первые представления о числе возникли в древности из счёта людей, животных, плодов, различных изделий человека и других предметов. Результатом счёта являются числа один, два, три и так далее. Эти числа называются натуральными.

При счёте отдельных предметов один (единица) – это самое маленькое число. Нуль добавили к числам очень поздно. Сначала слово «нуль» означало отсутствие числа (от латинского – «ничто»). Действительно, если, например, на столе лежало 3 карандаша, а потом взяли 3 карандаша, то на столе не осталось ничего.

Нуль – это ненатуральное, это целое число.

Натуральные числа – это целые положительные числа.

Понятие о том, что такое сложение, возникает из простых фактов. Для него не нужно определение. Вычитание определяется с помощью сложения. Вычитание – это нахождение одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Чтобы проверить результат вычитания, нужно сложить разность и вычитаемое. Должно получиться уменьшаемое.

Умножение, как и вычитание, можно определить с помощью сложения. Умножить одно число на другое – это значит повторить первое число слагаемым столько раз, сколько указывает второе число. Деление определяется с помощью умножения. Деление – это нахождение одного из множителей по произведению и другому множителю. Чтобы проверить результат деления, нужно делитель умножить на частное. Должно получиться делимое.

Для сложения выполняются законы, которые удобно использовать, чтобы упростить вычисления и быстро найти результат. Это коммутативный закон и ассоциативный закон.

Коммутативный закон сложения. От перестановки слагаемых сумма не изменяется. Другими словами, для любых двух чисел a и b верно равенство: a + b = b + a.

Например, 5 + 9 = 9 + 5 = 14.

Ассоциативный закон сложения. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел. Другими словами, для любых трёх чисел a, b и с верно равенство: (a + b) + c = a + (b + c).

Например, (19 + 26) + 54 = 19 + (26 + 54) = 99.

Для умножения, как и для сложения, также выполняются законы, которые удобно использовать, чтобы упростить вычисления и быстро найти результат. Это коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы.

Коммутативный закон умножения. От перестановки множителей произведение не изменяется. Другими словами, для любых двух чисел a и b верно равенство: a · b = b · a.

Например, 5 · 9 = 9 · 5 = 45.

Ассоциативный закон умножения. Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение ннрого и третьего чисел. Другими словами, для любых трёх чисел a, b и с верно равенство: (a · b) · c = a · (b · c).

Например, (9 · 4) · 25 = 9 · (4 · 25) = 900.

Дистрибутивный закон. Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. Другими словами, для любых трёх чисел a, b и с верно равенство: a · (b + c) = a · b + a · c.

Например, 2 · (8 + 5) = 2 · 8 + 2 · 5 = 26.

Арифметика изучает числа и действия с числами.

Пусть a и b – натуральные числа. Пусть a ≥ b. Говорят, что число a делится нацело на число b, если существует натуральное число c = a : b. Произведение этого числа на число b равно числу a, то есть c · b = (a : b) · b = a.

Число 15 делится нацело на число 3. Но число 15 не делится нацело на число 6. Говорят, что число 15 делится на число 6 с остатком: 15 : 6 = 2 (остаток 3) или 15 = 6 · 2 + 3. Число 2 – это неполное частное от деления числа 15 на число 6, а число 3 – это остаток от деления числа 15 на число 6. Остаток меньше, чем делитель.

Если остаток при делении числа a на число b равен нулю, то говорят, что число a делится на число b нацело.

Считают, что если перед числом поставить знак «+», то число не изменится. Например, 7 = +7, –10 = +(–10). А если перед числом поставить знак «–», то получится число, противоположное данному числу. Например, –(+12) = –12, –(–35) = +35 = 35.

Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными.  Например, –2 и +2, –111 и +111 – это противоположные числа. Противоположные числа имеют разные знаки.

Для любого числа a противоположное ему число – это число (–a).

Если перед числом 0 поставить знак «–», то получится число 0. Нуль не имеет знака. Нуль противоположен самому себе: 0 = –0 = +0.

Для любого числа можно найти его модуль. Чтобы найти модуль числа, используют следующие правила:

1. Модуль положительного числа равен самому числу.

2. Модуль числа 0 равен числу 0.

3. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу.

Таким образом, модуль любого числа – это положительное число или нуль, то есть неотрицательное число.

Противоположные числа имеют одинаковый модуль:

|+9| = |–9| = 9, |a| = |–a|.

Делимость – это способность одного числа делиться на другое число.

Свойства делимости

1. Если число a делится нацело на число b, а число b делится нацело на число c, то число a делится нацело на число c.

2. Если два числа a и b делятся нацело на число c, то сумма a + b и разность a – b делятся нацело на число c.

3. Если только одно из чисел a и b делится нацело на число c, то сумма a + b и разность a – b не делятся нацело на число c.

Признак делимости – это правило, с помощью которого можно ответь на вопрос: «Делится нацело число a на число b?».

Признак делимости на 4. Если две последние цифры числа образуют число, которое делится на 4, то и само число делится на 4.

Признак делимости на 25. Если две последние цифры числа – это 00, 25, 50, 75, то число делится на 25.

Люди в своей жизни и деятельности давно пришли к понятию дробного числа. Это связано с необходимостью измерять различные величины. В Древнем мире (за 2000 лет до нашей эры) уже использовали обыкновенные дроби и выполняли с ними арифметические действия.

В Древнем Вавилоне основной единицей массы и денег был 1 талант. Его делили на 60 мин, а 1 мину делили на 60 шекелей. Таким образом, использовались дроби, у которых знаменатель можно записать как произведение числа 60 на само себя. Для удобства записей использовали специальные знаки и названия: – минута, – секунда и так далее.

Следы этой системы используются нами в единицах измерения времени и углов:

Современную систему записи дробей создали в Древней Индии. Они писали числитель над знаменателем, но не писали черту дроби. А всю дробь помещали в прямоугольную рамку.

Современная запись обыкновенных дробей пришла к нам из Средних веков от арабов.

При выполнении действий с числами используют следующие правила.

Сумма двух чисел с одинаковыми знаками равна числу того же знака, модуль которого равен сумме модулей слагаемых.

Сумма двух чисел с разными знаками равна числу, модуль которого получается вычитанием из большего модуля меньшего. Знак суммы совпадает со знаком того слагаемого, модуль которого больше.

Сумма противоположных чисел равна нулю.

Чтобы вычесть из числа a число b, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. То есть, a – b = a + (– b).

Произведение и частное двух чисел одного знака есть число положительное.

Произведение и частное двух чисел с разными знаками есть число отрицательное.

Чтобы разделить число a на число b, достаточно делимое умножить на число, обратное делителю. То есть,

Периодические дроби можно разделить на чистые и смешанные. Чтобы записать их в виде обыкновенных дробей, нужно использовать разные правила. Как известно, период – это цифра или группа цифр, которая повторяется бесконечное число раз в дробной части.

У чистых периодических дробей период расположен сразу после запятой. Чтобы такую дробь записать в виде обыкновенной, нужно в числитель записать период, а в знаменатель записать цифру 9 столько раз, сколько цифр содержит период исходной дроби. Например:

В смешанных периодических дробях между запятой и периодом стоят другие цифры. Для записи таких дробей в виде обыкновенных используют другое правило. В числитель новой дроби нужно записать разность числа, которое стоит после запятой, включая период, и числа, которое стоит между запятой и периодом. В знаменатель новой дроби нужно записать число, которое состоит из цифр 9 и 0. Количество цифр 9 – это количество цифр в периоде исходной дроби, а количество цифр 0 – это количество цифр между запятой и периодом. Например:

Для иллюстрации соотношений между множествами используют схемы, которые называют диаграммами Эйлера. В таких схемах множества изображают в виде кругов. Если множества имеют общие элементы, то круги пересекаются. Если множества не имеют общих элементов, то круги не пересекаются. Если одно множество является подмножеством другого множества, то один круг находится внутри другого круга (рисунок 1).

а) множества имеют общие элементы

б) множества не имеют общих элементов

в) одно множество является подмножеством другого множества

Рисунок 1

С помощью диаграмм Эйлера удобно показывать объединение и пересечение множеств. Например, на рисунке 2 заштрихованная область изображает множество A ∪ B, а на рисунке 3 заштрихованная область изображает множество A ∩ B. Если множества не имеют общих элементов, то их пересечением является пустое множество, то есть A ∩ B = ∅. Также заметим, что для любого множества A выполняется равенство A ∩ ∅ = ∅.

Рисунок 2

Рисунок 3

Рациональное число – это:

а) положительная дробь, если её числитель и знаменатель имеют одинаковый знак;

б) отрицательная дробь, если её числитель и знаменатель имеют разные знаки;

в) число 0, если её числитель равен нулю.

Для любого целого числа p верно равенство: . Другими словами, любое целое число является рациональным числом (его можно записать как дробь со знаменателем 1).

Так как для любых рациональных чисел a и b число  тоже рациональное, то всегда можно найти такое рациональное число x, что будет верно неравенство a < x < b (или b < x < a).

Число  называется средним арифметическим чисел a и b. Вообще, средним арифметическим n чисел называется число, которое равно сумме этих чисел, делённой на n.

Например, среднее арифметическое чисел 12 и 40 равно числу 26 , а среднее арифметическое чисел 5, 7, 15, 39 равно числу 16,5 .

Первые натуральные степени чисел в III веке описал греческий математик Диофант в своём труде «Арифметика». В этой работе он ввёл специальные символы для первых шести степеней. Позже математики использовали различные сокращения и символы для обозначения степеней, а некоторые, чтобы показать возведение в степени, писали a · a, a · a · a, a · a · a · a.

Французский математик Николай Орем (1325–1382 гг.) в своей книге «Вычисление пропорций» использовал дробный показатель степени. Другой французский математик Никола Шюке в 1484 году в трактате «Наука о числах» ввёл отрицательный и нулевой показатели.

Название показателя степени ввёл немецкий математик Михаэль Штифель в 1544 году. В его главном труде «Полная арифметика» он описал теорию отрицательных чисел, возведения в степень, последовательностей, а также впервые использовал понятия «корень» и «показатель степени».

В 1637 году Рене Декарт написал «Геометрию». В этом труде появилась та современная запись показателя степени, которую мы используем и сейчас: a², a³, a⁴ и так далее.

Исаак Ньютон в 1676 году уже использовал современную запись для отрицательных и дробных показателей степеней. Позже в его работах и работах Джона Валлиса (1616–1703 гг.) были даны современное определение и обозначение степени с отрицательным, нулевым и дробным показателем.

В Древней Греции действие извлечения корня понимали как поиск стороны квадрата по его площади, а сам квадратный корень называли стороной.

В Древней Индии слово «мула» означало «начало», «основание», «корень дерева». Это же слово стали использовать и по отношению к стороне квадрата (из стороны квадрата, как из корня, вырастает сам квадрат). Возможно, поэтому в латинском языке понятия «сторона» и «корень» выражаются одним словом – radix. От этого слова произошёл термин «радикал».

В XIII–XV веках европейские математики сокращали слово radix и обозначали квадратный корень знаками R, R². Например, запись  выглядела так: R²7.

В XVI веке стали использовать знак √. Происхождение этого символа, возможно, связано с рукописным начертанием латинской буквы r.

В XVII веке выдающийся французский математик Рене Декарт (1596–1650 гг.) соединил знак √ с горизонтальной чертой и получил символ , который мы и использует сегодня.

Покажем, что число  – иррациональное. Проведём доказательство от противного.

Предположим, что число  – рациональное. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби , где m и n – натуральные числа.

Имеем: Тогда

Из последнего равенства следует, что число m² чётное. А это значит, что чётным является и число m. Тогда m = 2k, где k – некоторое натуральное число. Имеем: (2k)² = 2n²; 4k² = 2n²; n² = 2k². Отсюда следует, что число n² – чётное, следовательно, и число n – чётное.

Таким образом, числитель и знаменатель дроби  – чётные числа. Следовательно, эта дробь является сократимой. Получили противоречие, которое доказывает, что число  – иррациональное.

Факт существования иррациональных чисел был установлен в школе великого древнегреческого учёного Пифагора (около 570 – около 500 годов до нашей эры). Пифагорейцы доказали, что длину диагонали квадрата нельзя выразить рациональным числом. Это открытие изменило один из фундаментальных постулатов древнегреческих учёных о том, что отношение любых двух величин выражается отношением целых чисел.

В математике, как и в других науках, используется понятие «величина». И везде это понятие определяется по-разному. Так, в математике, физике величина – это результат измерения. Величина определяется числом и единицей измерения. Например, высота шкафа равна двум метрам (2 м).

Если величины имеют одинаковые единицы измерения, то их отношение – это число – безразмерная величина. Например,

Если величины имеют разные единицы измерения, то их отношение определяет новую величину – величину с новой единицей измерения. Например,

Величины можно разделить на постоянные и переменные.

Постоянные величины (константы) не изменяют своё значение. Существуют различные константы, например, π ≈ 3.14159, e ≈ 2.71828, g ≈ 9.8 м/с², G ≈ 6.67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг² и так далее.

Переменные величины изменяют свои значения. Значения величин могут изменяться по различным правилам и законам.

Если при увеличении значения величины x в несколько раз значение величины y увеличивается во столько же раз, то величины x и y называются прямо пропорциональными.

Если при увеличении значения величины x в несколько раз значение величины y уменьшается во столько же раз, то величины x и y называются обратно пропорциональными.

В повседневной жизни нам часто приходится наблюдать процессы, в которых в результате изменения значений одной величины происходит изменение значений другой величины. Изучение таких моделей требует создания их математических моделей. Одной из таких моделей является функция.

Исследованием функциональных зависимостей между величинами начали заниматься ещё учёные древности. Но только в первой половине XVII века выдающиеся французские математики Пьер Ферма (1601–1665 гг.) и Рене Декарт (1596–1650 гг.) открытием метода координат заложили основы для возникновения понятия функции.

Великий английский математик Исаак Ньютон (1643–1727 гг.) под функцией понимал величину, которая изменяет своё значение с течением времени.

Сам термин «функция» ввёл немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646–1716 гг.). Он и его ученик, швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667–1748 гг.), под функцией понимали формулу, которая связывает одну переменную с другой.

В дальнейшем, благодаря трудам разных учёных понятие функции продолжало развиваться. После возникновения теории множеств под функцией стали понимать правило, которое каждому элементу множества X ставит в соответствие единственный элемент множества Y.

Возникновение геометрии вызвано потребностью человека измерять землю. Слово «геометрия» означает землемерие. Несколько тысяч лет тому назад, геометрия Древнего Египта и Древнего Вавилона состояла из правил, которые были получены опытным путём для вычисления площадей и границ земельных участков.

В дальнейшем геометрия развивалась, её содержание усложнялось. Перед ней возникали новые задачи – измерение ёмкости сосудов, вычисление объёмов различных тел и другие задачи, которые связаны с формой, размерами и взаимным расположением различных предметов.

Большая роль в дальнейшем развитии геометрии принадлежит древнегреческим учёным (Фалес, Демокрит, Пифагор, Евклид и других), которые развивали геометрическое учение Египта и Вавилона. Наибольшая роль в истории развития геометрии принадлежит древнегреческому ученому Евклиду. Он в III веке до нашей эры обобщил и собрал геометрические сведения своих современников и предшественников, дополнил их своими исследованиями и дал их систематическое изложение в тринадцати геометрических книгах, которые известны под названием «Начала».

Точка и прямая являются основными геометрическими фигурами на плоскости.

Древнегреческий учёный Евклид в своём труде «Начала» писал: «точка – это то, что не имеет частей». Слово «точка» в переводе с латинского языка означает результат мгновенного касания, укол. Точка является основой для построения любой геометрической фигуры.

Линия у Евклида была определена как «длина без ширины», а про прямую линию он писал, что она «лежит равномерно по отношению к точкам на ней (равно лежит на всех своих точках)».

В трудах других древних учёных можно встретить и такое описание: «Прямая линия – это линия, которая одинакова по отношению ко всем своим точкам на ней, лежит прямо и максимально натянута между своими концами». Это описание фактически приводит нас к кратчайшему расстоянию между двумя точками.

Прямая линия или просто прямая – это линия, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим. Прямая линия бесконечна, и изобразить всю прямую и измерить её невозможно.

Система координат – это одно из гениальных изобретений человечества. Начало было положено древнегреческим учёным Гиппархом. Он предложил ввести географические координаты – широту и долготу, изобразив на карте земной шар с параллелями и меридианами, и обозначить их числами.

Намного позже, в XVII веке, французский математик Рене Декарт выстроил научные знания в строгую систему и стал основоположником ортонормированной системой координат.

Научное описание прямоугольной системы координат Рене Декарт впервые сделал в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют Декартовой. Также в своей работе «Геометрия» (1637 г.) Декарт ввёл впервые понятия переменной величины и функции, впервые применил в геометрии алгебраические методы. «Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики. В декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа.