ТЕКСТ ДЛЯ ЧТЕНИЯ

1. Координатная ось 

Рассмотрим прямую линию (рисунок 10.1). Обозначим её направление вправо знаком → (стрелка). 

Рисунок 10.1

Будем рассматривать это направление как положительное, а противоположное направление (влево) как отрицательное. Мы получили ось. 

Возьмём на оси точку и обозначим её буквой О. Точка О изображает число 0 (нуль). Это начало отсчёта. Возьмём любую точку справа от точки О и обозначим её буквой Е. Будем считать, что отрезок ОЕ – это единица длины (то есть длина отрезка ОЕ равна 1). Точка Е изображает число 1. Мы получили числовую (координатную) ось. 

Прямая, на которой выбраны начало отсчёта, положительное направление и единица длины, называется координатной осью. 

На рисунке 10.1 координатная ось изображена горизонтально с положительным направлением, которое идёт вправо от точки О. 

Начало отсчёта (начальная точка) О делит координатную ось на два луча. Один из них идёт вправо от точки О в положительном направлении. Это положительный луч. Другой луч идёт влево от точки O. Это отрицательный луч. 

Каждая точка координатной оси изображает действительное число. Если точка находится на положительном луче, то она изображает положительное число. Если точка находится на отрицательном луче, то она изображает отрицательное число. 

Число, которое обозначено на координатной оси точкой, называют координатой этой точки. 

Каждой точке координатной оси соответствует действительное число – координата этой точки (рисунок 10.2). 

Рисунок 10.2

        Две различные точки A и B координатной оси имеют разные координаты a и b. Если точка A расположена справа от точки B, то a > b. 

Каждое действительное число – это координата некоторой точки координатной оси. 

 

2. Числовые промежутки 

Числовые промежутки – это числовые множества. 

Числовой промежуток – это множество всех точек числовой оси, которое ограничено данным числом или числами (точкой или точками на числовой оси). 

Различают следующие числовые промежутки: закрытый (отрезок), открытый (интервал), полуоткрытый (полуинтервал), бесконечный (луч, прямая). 

Числовые промежутки удобно описывать с помощью специальных обозначений, неравенств и изображать на числовой оси. Чтобы обозначить числовой промежуток, используют скобки – круглые и квадратные. Если число, которое обозначает конец промежутка, не входит в этот промежуток, то рядом с таким числом ставят круглую скобку. Если число, которое обозначает конец промежутка, входит в этот промежуток, то рядом с таким числом ставят квадратную скобку. Бесконечность обозначают специальным знаком ∞. Бесконечность может иметь знак «+» или «–». Рядом со знаком бесконечности всегда ставят круглую скобку. 

Запомните, как обозначать, изображать и читать промежутки!

Обозначение	Неравенство	Изображение	Название, правило чтения
x ∈ (a; b) x ∈ ] a; b[	a < x < b		Интервал (открытый промежуток) от a до b
x ∈ [a;b]	a ≤ x ≤ b		Отрезок (закрытый промежуток) от a до b
x ∈ [a;b) x ∈ [a;b[	a ≤ x < b		Полуинтервал от a до b, закрытый слева (включая a)
x ∈ (a; b] x ∈ ]a; b]	a < x ≤ b		Полуинтервал от a до b, закрытый справа (включая b)
x ∈ (–∞; a) x ∈ ]–∞; a[	–∞ < x < a		Интервал от минус бесконечности до a
x ∈ (–∞; a] x ∈ ]–∞; a]	–∞ < x ≤ a		Луч: полуинтервал от минус бесконечности до a, закрытый справа (включая a)
x ∈ (a; +∞) x ∈ ]a; +∞[	a < x < +∞		Интервал от a до плюс бесконечности
x ∈ [a; +∞) x ∈ [a; +∞[	a ≤ x < +∞		Луч: полуинтервал от a до плюс бесконечности, закрытый слева (включая a)
x ∈ (–∞; +∞) x ∈ ]–∞; +∞[	–∞ < x < +∞		Числовая прямая R (интервал от минус бесконечности до плюс бесконечности)

 

3. Координатная плоскость 

      Зададим на плоскости две оси координат так, чтобы угол между ними был прямой (90°). Назовём их ось x и ось y. Точку пересечения осей обозначим точкой О. Эта точка является началом отсчёта для каждой из этих осей. Единицы длины осей возьмём равными друг другу. Таким образом, на плоскости определена прямоугольная (декартова) система координат xOy (рисунок 10.3). 

Рисунок 10.3

Ось x – это ось абсцисс. Ось y – это ось ординат. Точка О – начало системы координат. Плоскость, на которой задана декартова система координат, называется координатной плоскостью. 

Прямоугольная система координат xOy делит плоскость на четыре части, которые называются координатными углами. Их обозначают римскими числами I, II, III, IV (рисунок 10.3). 

Пусть A – произвольная точка координатной плоскости. Проведём через точку A прямые, которые параллельны осям координат. Эти прямые пересекают оси координат. Координаты точек пересечения – это координаты точки А. 

x_A – это первая координата (абсцисса) точки А. 

y_A – это вторая координата (ордината) точки А. 

Говорят, что точка А имеет координаты x_A, y_A, и пишут А(x_A, y_A). 

Например, на рисунке 10.3 изображена точка А, которая имеет абсциссу x = 5 и ординату y = 4. Говорят, что точка А имеет координаты 5 и 4 и пишут А(5; 4). 

Пару координат (x_A, y_A) точки А называют упорядоченной парой. Эти координаты нельзя менять местами. Если пара состоит из разных чисел, то после их перестановки получится другая точка плоскости. 

Если на плоскости задана прямоугольная система координат xOy, то: 

1) каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (пара координат точки); 

2) разным точкам плоскости поставлены в соответствие разные упорядоченные пары чисел; 

3) каждая упорядоченная пара чисел соответствует некоторой точке плоскости.