Если при делении одного натурального числа на другое в частном получается натуральное число, то говорят, что первое число делится нацело на второе или что первое число кратно второму числу. 

Например:

-   8 делится нацело на 4, то есть число 8 кратно числу 4;

-   9 не делится нацело на 4, то есть число 9 не кратно числу 4. 

Кратное натурального числа a – это натуральное число b, которое делится нацело на число a. 

Например, числа 10, 20, 30, … – это кратные числа 10. 

Каждое натуральное число p делится нацело на 1 и на себя:

p : 1 = p,     p : p = 1. 

Простое число – это такое натуральное число, которое больше числа один и делится только на 1 и на себя. Вот первые десять простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. 

Непростые натуральные числа, которые больше числа один, – это составные числа. Каждое составное число делится на 1, на себя и ещё хотя бы на одно натуральное число. Вот первые десять составных чисел: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18. 

Число один (единица) не является ни простым, ни составным числом. 

Делитель натурального числа a – это натуральное число b, на которое число a делится нацело. 

Например, числа 1, 2, 4, 8 – это делители числа 8. 

Отсюда следует, что простое число имеет ровно два делителя, а составное число имеет больше двух делителей. Например, простое число 17 имеет ровно два делителя – это числа 1 и 17. А составное число 24 имеет 8 делителей – это числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. 

Если делитель – простое число, то это простой делитель. Например, число 17 имеет один простой делитель – это число 17, а число 24 имеет два простых делителя – это числа 2 и 3. 

Каждое составное число можно записать как произведение его простых делителей или их степеней. Например,

28 = 2 · 2 · 7 = 2² · 7;

22 = 2 · 11;

81 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3⁴;

100 = 2 · 2 · 5 · 5 = 2² · 5².  

Правая часть каждого равенства – это разложение на простые множители числа, которое стоит в левой части. 

Разложить число на простые множители – это значит записать это число как произведение различных его простых делителей или их степеней. 

1. Для нескольких чисел можно найти наибольший общий делитель (НОД). Наибольший общий делитель натуральных чисел a и b – это наибольшее число, на которое делятся нацело и a, и b. 

Наибольший общий делитель чисел a и b обозначается НОД(a, b). 

Для того чтобы найти НОД(a, b), надо сначала разложить все числа на простые множители, а затем найти произведение общих простых делителей этих чисел. 

Например, рассмотрим числа 24 и 36.  Разложим эти числа на простые множители:  24 = 2 · 2 · 2  · 3 = 2³ · 3,  36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 2² · 3². Числа 24 и 36 имеют три общих делителя. Это числа 2, 2 и 3. Найдём произведение этих общих делителей: 2 · 2 · 3 = 12. Это и есть их наибольший общий делитель:

НОД(24; 36) = 2 · 2 · 3 = 12.  

Числа, которые не имеют общих простых делителей, – это взаимно простые числа. Наибольший общий делитель взаимно простых чисел равен 1. 

2. Для нескольких чисел можно также найти наименьшее общее кратное (НОК). Наименьшее общее кратное натуральных чисел a и b – это наименьшее число, которое делится нацело и на a, и на b. 

Наименьшее общее кратное чисел a и b обозначается НОК(a, b). 

Для того чтобы найти НОК(a, b), надо сначала разложить все числа на простые множители, а затем найти произведение всех делителей числа a и тех делителей числа b, которых нет среди делителей числа a. 

Например, рассмотрим числа 24 и 36.  Разложим эти числа на простые множители:  24 = 2 · 2 · 2 ·  3 = 2³ · 3,  36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 2² · 3².  Найдём произведение всех делителей числа  24  и  тех делителей числа 36,  которых нет среди делителей числа 24.  Получим (2 · 2 ·  2 · 3) · (3) = 72.  Это и есть их наименьшее общее кратное:

НОК(24; 36) = 72.  

Заметим, что наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.