2. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ

2.1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ
ЗАВИСИМОСТИ НАДЕЖНОСТИ

Первоначально рассмотрим надежность невосстанавливаемых изделий. Существует множество неремонтируемых промышленных изделий, работающих до первого отказа, после которого они подлежат замене (электрические лампочки, подшипники качения, множество изделий радиоэлектронной промышленности, многие детали машин и т.д.). Для изделий такого рода понятия безотказности и долговечности обычно оказываются эквивалентными и определяющими.

Рассмотрим их подробнее. Интенсивность отказов − это отношение числа отказов в единицу времени к числу изделий, находящихся в исправном состоянии к концу рассматриваемого периода времени, что можно выразить в виде [13]

где    − число отказов за время   .

Плотность вероятности отказов f(t), представляющая отношение числа отказов, происшедших в единицу времени, к общему числу испытуемых изделий, записывается так [13]:

Среднее время безотказной работы − это понятие эквивалентное понятию ресурса (в случае статистической значимости среднего значения). Оно представляет собой среднее арифметическое всех времен наработок до отказа и записывается в виде

Каждый из полученных параметров характеризует надежность только в определенном аспекте и поэтому имеет свою область предпочтительного применения. Зависимость по времени может быть разделена на три периода (рис. 2.1.)

Рис. 2.1. Изменение во времени интенсивности отказов

Первый, сравнительно небольшой по времени, где наблюдается сильное уменьшение интенсивности отказов, был назван периодом приработки изделия. Второй, характеризующийся постоянным значением интенсивности отказов, называют периодом нормальной эксплуатации. В этот отрезок времени, являющийся обычно самым продолжительным, отказы имеют внезапный характер. Третий период, в течение которого интенсивность отказов постоянно увеличивается, назван периодом катастрофических износовых или подругому закономерных отказов.

Необходимо помнить, что интенсивность отказов λ является показателем надежности для невоостанавливаемых изделий, работающих до первого отказа [2, 3, 6 − 10]. Для восстанавливаемых, т.е. ремонтируемых изделий, которые в процессе долговременной эксплуатации могут иметь большое число отказов, этим же ГОСТом регламентируется аналогичный показатель надежности, который называется параметром потока отказов и обозначается буквой ω. Размерность этого показателя аналогична таковой для интенсивности отказов, т.е. единица, деленная на время или единица времени в минус первой степени.

Разница между параметрами λ и ω заключается в том, что первый статистически определяет число отказов в единицу времени неремонтируемых изделий (для группы изделий), а второй − среднюю статистическую величину числа отказов во времени функционирования для ремонтируемого изделия без учета времени проведения ремонтных работ.

В настоящее время промышленностью уже накоплены статистические данные по надежности и в том числе по интенсивности отказов (параметру потока отказов). Но как свидетельствует промышленный опыт, существует значительный разброс (неоднородность) статистических данных, что связано с особенностями конструкции изделия и спецификой условий его эксплуатации.

Для практического использования табличных данных по надежности изделий в настоящее время в проектно-конструкторской работе широко используют коэффициентный метод, который заключается в том, что для получения практически полезной величины табличное значение показателя надежности, например, интенсивности отказов, найденное по результатам стендовых испытаний, умножает на коэффициент, учитывающий условия эксплуатации [12], т.е.:

Коэффициент k в зависимости от условий эксплуатации обычно принимают равным: 10 − в промышленности; 20 − на водном транспорте; 40 − на автомобильном транспорте; 60 − на железнодорожном транспорте; 80 − в горных условиях; 100 − на автотранспорте; 1000 − на космических объектам.

На аналитическом пути прогнозирования надежности следует помнить, что описать надежность изделия во всем периоде его эксплуатации одной математической зависимостью практически невозможно. В процессе аналитического описания надежности очень важно правильно выбрать закон распределения наработок на отказ для определенного периода эксплуатации изделия. Адекватность (тождественность) модели будет тем выше, чем в большей мере будет она соответствовать физической сущности явления отказа.

При выборе модели распределения наработок на отказ рекомендуется руководствоваться следующими отличительными признаками, которые могут проявляться в процессе появления отказов [15]:

1) стационарность − признак, характеризующийся тем, что число отказов, имеющих место в течение определенного промежутка времени, зависит только от длительности этого промежутка и не зависит от времени, прошедшего с начала эксплуатации;

2) ординарность − невозможность появления более чем одного отказа в один и тот же момент времени;

3) отсутствие последействия − признак, который означает что интенсивность отказов в каком-либо промежутке времени не связана с интенсивностью отказов и характером их проявления в предыдущем периоде времени.

Рассмотрим некоторые наиболее употребимые на практике законы распределений [7, 11, 13]. Каждый из них удовлетворяет двум последним признакам.

2.1.1. Показательный (экспоненциальный) закон

Показательный закон распределения характеризуется постоянной интенсивностью отказов во времени    что свидетельствует о наличии признака стационарности. Показатели надежности в этом случае имеют вид:

для вероятности безотказной работы

для частоты отказов   − функция табулирована;

для средней наработки на отказ

Показательный закон характеризуется следующей дисперсией

В таком случае стандартное отклонение будет равно

Последняя зависимость часто используется как необходимое условие соответствия распределения экспериментальных данных показательному закону.

В связи с закономерностью изменения интенсивности отказов во времени, показательный закон применяют для описания периода внезапных отказов   .

Ввиду простоты математического описания он находит также применение для списания закономерности отказов с неизвестным распределением для небольших промежутков времени, поскольку для больших интервалов времени может возникнуть недопустимая погрешность неадекватности.

2.1.2. Нормальный закон

Этот закон находит широкое применение для изучения закономерностей многих процессов статистического характера в природе, обществе и познании. Математический аппарат относительно хорошо разработан, многие параметры табулированы, он прост и удобен в обращении. Сказанное во многом объясняет тот факт, что нормальный закон часто используется для качественного исследования распределений различного вида. Однако не следует считать, что этот закон является универсальным применительно к теории надежности, поскольку он никоим образом не заменяет функции распределений иного рода, а только служит инструментом их качественного изучением.

Рассмотрим наиболее важные для теории надежности параметры и свойства нормального закона распределения с нормальным распределения.

Плотность вероятности отказа (частота, отказов) в соответствии с нормальным распределением выражается как

где М − математическое ожидание (средняя наработка на отказ); σ,σ²  − стандарт и дисперсия случайной величины (времени безотказной работы).

Графическим изображением этого закона является тривиальная кривая Гаусса.

Вероятность безотказной работы определяется как

где Ф − табулированный интеграл Лапласа.

Выражение для интенсивности отказов имеет вид

где     − специальная функция (табулированная), аргумент которой    называется квантилем.

Нормальный закон не отвечает признаку стационарности. Он служит для описания случайных параметров, являющихся функцией многочисленных факторов при невысокой корреляции с каждым из них. К такому параметру относится в первую очередь износ, являющийся функцией множества случайных факторов, например, величины, точки приложения и направления силы, шероховатость поверхности, неоднородность механических свойств, неравномерность смазки, свойства абразивов и корродирующих сред и др. Однако процесс изнашивания описывается адекватно нормальным распределением до тех пор, пока влияние одного из факторов на износ не стало определяющим, после чего распределение наработок на отказ становится несимметричным.

2.1.3. Логарифмический нормальный закон

Для описания несимметричных распределений, отличных от нормальных, иногда используют прием логарифмирования аргумента нормальной функции, что нередко позволяет приблизить распределение к нормальному. Распределение такого вида носит название логарифмически нормального. Применительно к теории и практике надежности в качестве аргумента названного распределения выступает логарифм времени до отказа.

Плотность логарифмически нормального распределения наработок до отказа выражается так

Все другие характеристики надежности для распределения этого вида аналогичны таковым для нормального распределения, если в них заменить аргумент на логарифм аргумента. Чаще всего используются натуральные и десятичные логарифмы, но принципиально возможно использование логарифмов с любым другим основанием. Наиболее часто логарифмический нормальный закон используется для моделирования усталостных отказов, возникающих в результате наличия внутренних дефектов металлов, служащих причиной образования микротрещин и развития последних до критических размеров.

2.1.4. Закон Вейбулла

Как уже упоминалось, в теории надежности отсутствует универсальный закон, приемлемый для описания функционирования изделия на всех этапах эксплуатации. Однако в некоторой степени к универсальному приближается закон Вейбулла.

В соответствии с этим законом функция плотности распределения (частота отказов) имеет вид

где a,b − параметры, характеризующие остроту и симметрию кривой плотности распределения соответственно.

Вероятность безотказной работы определяется как

Интенсивность отказов имеет вид

   .

Средняя наработка на отказ выражается как

где     − табулированная гамма-функция.

Анализ записанных выражений показывает, что данный закон может быть привлечен для описания функционирования изделия в любом периоде его эксплуатации в зависимости от величины параметра b. Сказанное хорошо иллюстрируется изменением характера зависимостей интенсивности отказов во времени при изменении величины b (рис. 2.2, а).

Рис. 2.2. Вид функции λ(t)(a) и f(t) (б)

Кривая плотности распределения (рис. 2.2, б) при b > 1 имеет вид, аналогичный таковой для нормального распределения. Однако, в зависимости от конкретного значения при условии b > 1, она может иметь левую или правую асимметрию, а при b = 3,25 близка к симметричной кривой.

Распределение Вейбулла хорошо описывает отказы механических систем в начальном периоде эксплуатации, вызванные наличием слабых элементов в объектах, отказы при статических хрупких и усталостных разрушениях. Это связано с тем, что в соответствии с теорией вероятностей закон Вейбулла наиболее подходит для описания распределения минимальных значений совокупностей случайных величин.